Hướng dẫn giải bài §2. Phương trình lượng giác cơ bản, Chương I. Hàm con số giác cùng phương trình lượng giác, sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Nội dung bài giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 trang 28 29 sgk Đại số và Giải tích 11 bao hàm tổng phù hợp công thức, lý thuyết, cách thức giải bài bác tập đại số cùng giải tích gồm trong SGK để giúp đỡ các em học viên học tốt môn toán lớp 11.
Bạn đang xem: Bài 1 trang 28 sgk toán 11
Lý thuyết
1. Phương trình $sinx = a$
Nếu (|a|>1): Phương trình vô nghiệm.
Nếu (|a|leq 1):
(sin x = sin alpha Leftrightarrow left< eginarrayl x = alpha + k2pi \ x = pi – alpha + k2pi endarray ight.left( k in mathbbZ ight))
(sin x = sin eta ^0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = eta ^0 + k360^0\ x = 180^0 – eta ^0 + k360^0 endarray ight.left( k inmathbbZ ight))
(sin x = a Leftrightarrow left< eginarrayl x = arcsin a + k2pi \ x = pi – arcsin a + k2pi endarray ight.left( k in mathbbZ ight))
Tổng quát:
(sin fleft( x ight) = sin gleft( x ight) Leftrightarrow left< eginarrayl fleft( x ight) = gleft( x ight) + k2pi \ fleft( x ight) = pi – gleft( x ight) + k2pi endarray ight.,,left( k inmathbbZ ight))
Các trường hợp đặc biệt:
(eginarrayl oplus ,,,sin x = 1 Leftrightarrow x = fracpi 2 + k2pi ,,,left( k in mathbbZ ight)\ oplus ,,,sin x = – 1 Leftrightarrow x = – fracpi 2 + k2pi ,,,left( k inmathbbZ ight)\ oplus ,,,sin x = 0 Leftrightarrow x = kpi ,,,left( k inmathbbZ ight) endarray)
2. Phương trình $cosx = a$
Nếu (|a|>1): Phương trình vô nghiệm.
Nếu (|a|leq 1):
(cos x = cos alpha Leftrightarrow x = pm alpha + k2pi left( k inmathbbZ ight))
(cos x = cos eta ^0 Leftrightarrow x = pm eta ^0 + k360^0left( k in mathbbZ ight))
(cos x = a Leftrightarrow x = pm ,arccmosa + k2pi left( k in mathbbZ ight))
Tổng quát:
(cos fleft( x ight) =cos gleft( x ight) Leftrightarrow fleft( x ight) = pm gleft( x ight) + k2pi ,,left( k in mathbbZ ight))
Các ngôi trường hợp đặc biệt:
(eginarrayl oplus ,,,cos x = 1 Leftrightarrow x = k2pi ,,,left( k inmathbbZ ight)\ oplus ,,,cos x = – 1 Leftrightarrow x = pi + k2pi ,,,left( k inmathbbZ ight)\ oplus ,,,cos x = 0 Leftrightarrow x = fracpi 2 + hiệu quả chiến lược ,,,left( k in mathbbZ ight) endarray)
3. Phương trình $tanx = a$
(eginarrayl oplus an x = mathopm tolimits manalpha Leftrightarrow ,x,m = ,alpha + hiệu quả chiến lược ,,,,left( k inmathbbZ ight)\ oplus an x = mathopm tolimits maneta ^0 Leftrightarrow ,xm = eta ^0 + km18m0^0,,,,left( k in mathbbZ ight)\ oplus an x = a Leftrightarrow xm = arctan a, + hiệu quả chiến lược ,,,,left( k inmathbbZ ight) endarray)
Tổng quát:
( an fleft( x ight) = an gleft( x ight) Leftrightarrow fleft( x ight) = gleft( x ight) + kpi ,,left( k in mathbbZ ight))
4. Phương trình $cotx = a$
(eginarrayl oplus cot x = cot alpha Leftrightarrow mx,,m = ,alpha ,m + ,mkpi ,,,,left( k in mathbbZ ight)\ oplus cot x = cot eta ^0 Leftrightarrow mx,,m = ,eta ^0m + ,mk18m0^0,,,,left( k inmathbbZ ight)\ oplus cot x = a Leftrightarrow mx,,m = mathopm arcolimits cot ,a,m + ,mkpi ,,,,left( k inmathbbZ ight) endarray)
Tổng quát:
(cot fleft( x ight) = cot gleft( x ight) Leftrightarrow fleft( x ight) = gleft( x ight) + kpi ,,left( k in mathbbZ ight))
Dưới đây là phần phía dẫn trả lời các thắc mắc và bài xích tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Đại số cùng Giải tích 11.
Câu hỏi
1. Trả lời câu hỏi 1 trang 18 sgk Đại số với Giải tích 11
Tìm một quý hiếm của $x$ làm thế nào cho $2sinx – 1 = 0.$
Trả lời:
Ta có: $2sinx – 1 = 0 ⇒ sin x =$ (1 over 2)
⇒ một giá trị của $x$ làm thế nào để cho $2sinx – 1 = 0$ là $x =$ (pi over 6)
2. Trả lời câu hỏi 2 trang 19 sgk Đại số với Giải tích 11
Có quý giá nào của $x$ thỏa mãn phương trình $sinx = -2$ không?
Trả lời:
Không có giá trị làm sao của $x$ thỏa mãn nhu cầu phương trình $sinx = -2$
3. Trả lời thắc mắc 3 trang 21 sgk Đại số và Giải tích 11
Giải các phương trình sau:
(eqalign& a),mathopm solimits minx = 1 over 3 cr& b),sin (x + 45^0) = – sqrt 2 over 2 cr )
Trả lời:
a) Ta có:
$sinx =$ (1 over 3) lúc x = arcsin (1 over 3)
Vậy phương trình $sinx =$ (1 over 3) có các nghiệm là:
$x = arcsin$ (1 over 3) $+ k2π, k ∈ Z$ với $x = π – arcsin$ (1 over 3) $+ k2π, k ∈ Z$
b) Ta có: ( – sqrt 2 over 2) = sin(-45o) nên:
sin(x + 45o ) = ( – sqrt 2 over 2) ⇔ sin(x+45o) = sin(-45o)
Khi đó x + 45o = -45o + k360o, $k ∈ Z ⇒ x =$ -45o – 45o + k360o, $k ∈ Z$
và x + 45o = 180o – (-45o ) + k360o, $k ∈ Z ⇒ x =$ 180o – (-45o ) – 45o + k360o, $k ∈ Z$
Vậy: $x =$ -90o + k360o, $k ∈ Z$ với $x =$ 180o + k360o, $k ∈ Z$
4. Trả lời thắc mắc 4 trang 23 sgk Đại số với Giải tích 11
Giải những phương trình sau:
(eqalign& a),cos x = – 1 over 2 cr& b),cos x = 2 over 3 cr& c),cos (x + 30^0) = sqrt 3 over 2 cr )
Trả lời:
a) Ta có:
( – 1 over 2) = cos (2pi over 3) cần cos x = ( – 1 over 2) ⇔ cos x = cos (2pi over 3)
$⇒ x = ± 2pi over 3 + k2π, k ∈ Z$
b) Ta có:
$cos x = 2 over 3$
$⇒ x = ± arccos 2 over 3 + k2π, k ∈ Z$
c) Ta có:
(sqrt 3 over 2) = cos30o đề xuất cos(x + 30o )= (sqrt 3 over 2)
$⇔ cos(x +$ 30o ) =$ cos$ 30o
⇔ x + 30o = ±30o + k360o, $k ∈ Z$
⇔ x = k360o, k ∈ Z và x = -60o + k360o, k ∈ Z
5. Trả lời câu hỏi 5 trang 24 sgk Đại số cùng Giải tích 11
Giải những phương trình sau:
a) $tanx = 1$;
b) $tanx = -1$;
c) $tanx = 0$.
Trả lời:
Ta có:
a) $tan x = 1 ⇔ tan x = tan pi over 4$
$⇔ x = pi over 4 + kπ, k ∈ Z$
b) $tan x = -1 ⇔ tan x = tan – pi over 4 $
$⇔ x = – pi over 4 + kπ, k ∈ Z$
c) $tan x = 0 ⇔ tan x = tan 0$
$⇔ x = kπ, k ∈ Z$
6. Trả lời thắc mắc 6 trang 26 sgk Đại số cùng Giải tích 11
Giải những phương trình sau:
a) $cotx = 1$;
b) $cotx = -1$;
c) $cotx = 0$.
Trả lời:
Ta có:
a) $cot x = 1 ⇔ cot x = cot pi over 4$
$⇔ x = pi over 4 + kπ, k ∈ Z$
b) $cot x = -1 ⇔ cot x = cot – pi over 4$
$⇔ x = – pi over 4 + kπ,k ∈ Z$
c) $cot x = 0 ⇔ cot x = cot pi over 2$
$⇔ x = pi over 2 + kπ, k ∈ Z$
Dưới đấy là phần gợi ý giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 trang 28 29 sgk Đại số với Giải tích 11. Các bạn hãy hiểu kỹ đầu bài trước khi giải nhé!
Bài tập
giasuviet.edu.vn reviews với chúng ta đầy đủ cách thức giải bài bác tập đại số với giải tích 11 kèm bài xích giải đưa ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 28 29 sgk Đại số với Giải tích 11 của bài §2. Phương trình lượng giác cơ phiên bản trong Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác cho chúng ta tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài xích tập các bạn xem dưới đây:
Giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 trang 28 29 sgk Đại số và Giải tích 111. Giải bài bác 1 trang 28 sgk Đại số và Giải tích 11
Giải những phương trình sau:
a) (small sin (x + 2) =frac13)
b) (small sin 3x = 1)
c) (small sin (frac2x3 -fracpi3) =0)
d) (small sin (2x + 20^0) =-fracsqrt32)
Bài giải:
a) (sin (x + 2) =frac13Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x+2=arcsin frac13+k2 pi, k in mathbbZ\ \ x+2=pi -arcsin frac13+k2 pi, k in mathbbZ endmatrix)
(Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x=arcsin frac13-2+k2 pi, kin mathbbZ\ \ x=pi – arcsin frac13-2+k2 pi, kin mathbbZ endmatrix)
Vậy nghiệm của phương trình là: (x=arcsin frac13-2+k2 pi (kin mathbbZ)) và (x=pi – arcsin frac13-2+k2 pi (kin mathbbZ))
b) (sin 3x = 1 Leftrightarrow sin3x=sinfracpi 2)
(Leftrightarrow 3x=fracpi 2+k2 pi ,kin mathbbZ)
(Leftrightarrow x=fracpi 6+frack2 pi3,(kin mathbbZ))
Vậy nghiệm của phương trình là: (x=fracpi 6+frack2 pi3,(kin mathbbZ))
c) (sinleft ( frac2x3-fracpi 3 ight )=0 Leftrightarrow frac2x3-fracpi 3= kpi, kin mathbbZ)
(Leftrightarrow frac2pi 3=fracpi 3+k pi,kin mathbbZ)
(Leftrightarrow x=fracpi 2+frac3kpi 2, kin Z)
Vậy nghiệm của phương trình là: (x=fracpi 2+k.frac3pi 2, kin Z)
d) (sin(2x+20^0)=-fracsqrt32Leftrightarrow sin (2x +20^0) = sin(-60^0))
(Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix 2x+20^0=-60^0+k360^0, kin mathbbZ\ \ 2x+20^0=204^0+k360^0, kin mathbbZ endmatrix)
(Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x=-40^0+k180^0, kin mathbbZ\ \ x=110^0+k180^0, kin mathbbZ endmatrix)
Vậy nghiệm của phương trình là: (x=-40^0+k180^0, (kin mathbbZ); x=110^0+k180^0, (kin mathbbZ))
2. Giải bài 2 trang 28 sgk Đại số cùng Giải tích 11
Với hầu như giá trị như thế nào của x thì giá chỉ trị của các hàm số $y = sin 3x$ và $y = sin x$ bởi nhau?
Bài giải:
Giá trị của các hàm (y=sin3x) với (y=sinx) đều nhau khi và chỉ còn khi:
(sin3x=sinxLeftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix 3x=x+k2pi, (kin mathbbZ)\ \ 3x= pi-x+k2 pi, (kin mathbbZ) endmatrix)
(Leftrightarrow Bigg lbrack eginmatrix x=kpi , (kin mathbbZ)\ \ x=fracpi 4+kfracpi 2 , (kin mathbbZ) endmatrix)
Vậy với (x=kpi , (kin mathbbZ)) hoặc (x=fracpi 4+kfracpi 2 , (kin mathbbZ)) thì sin3x = sinx.
3. Giải bài xích 3 trang 28 sgk Đại số và Giải tích 11
Giải các phương trình sau:
a) (small cos (x – 1) =frac23)
b) (small cos 3x = cos 12^0)
c) (small cos (frac3x2-fracpi4)=-frac12)
d) (cos ^22x = frac14).
Xem thêm: Tải Game Rắn Săn Mồi Miễn Phí Tại, Game Rắn Săn Mồi
Bài giải:
a) Ta có:
(cos (x – 1) = frac23 Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x – 1 = arccos frac23 + k2pi\ \ x – 1 = – arccos frac23 + k2pi endmatrix)
(Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x = 1 + arccos frac23 + k2pi , (k in Z) \ \ x = 1 – arccos frac23 + k2pi , (k in Z). Endmatrix)
Vậy nghiệm phương trình là: (x = 1 + arccos frac23 + k2pi , (k in Z)) hoặc (x = 1 – arccos frac23 + k2pi , (k in Z).)
b) (cos 3x = cos 120^0Leftrightarrow 3x = pm 12^0 + k360^0 (kin mathbbZ))
(Leftrightarrow x = pm 4^0 + k120^0 , (k in Z).)
Vậy nghiệm phương trình là: (x = pm 4^0 + k120^0 , (k in Z).)
c) Ta có:
(cosleft ( frac3x2-fracpi 4 ight )=-frac12Leftrightarrow cosleft ( frac3x2-fracpi 4 ight )=cosleft ( pi -fracpi 3 ight ))
(Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix frac3x2-fracpi 4=frac2pi 3+k2 pi\ \ frac3x2-fracpi 4=-frac2pi 3+k2 pi endmatrix,(kin mathbbZ))
(Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x=frac11pi 18+k.frac4pi 3 \ \ x=-frac5pi18+k.frac4pi 3 endmatrix,(kin mathbbZ))
Vậy nghiệm phương trình là: (x=frac11pi 18+frac4 key performance indicator 3) cùng (x=-frac5pi18+frac4 kpi hiệu quả chiến dịch 3 (kin mathbbZ))
d) Ta có:
(cos^22x =frac14Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix cos2x=frac12\ \ cos2x=-frac12 endmatrixLeftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix cos2x=cos fracpi 3\ \ cos2x= cosfrac2pi 3 endmatrix)
(Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix 2x=pm fracpi 3 + k2 pi\ \ 2x=pm frac2pi 3 + k2 pi endmatrix, kin mathbbZ Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x= pm fracpi 6 +k pi\ \ x= pm fracpi 3 +k pi endmatrix, kin mathbbZ)
Vậy nghiệm phương trình là: (x= pm fracpi 6 +k pi)và (x= pm fracpi 3 +k pi, kin mathbbZ).
4. Giải bài bác 4 trang 29 sgk Đại số và Giải tích 11
Giải phương trình (small frac2cos2x1-sin2x=0).
Bài giải:
Điều khiếu nại (sin2xeq 1Leftrightarrow 2xeq fracpi 2+k2 piLeftrightarrow xeq fracpi 4+k pi(kin mathbbZ))
(frac2cos2x1-sin2x=0Leftrightarrow 2cos2x=0)
Phương trình đang cho tương tự với:
(cos2x=0 Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix 2x=fracpi 2+k2pi\ \ 2x=-fracpi 2+k2pi endmatrix Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x=fracpi 4+kpi (loai)\ \ x=-fracpi 4+kpi (kin mathbbZ) endmatrix)
Vậy nghiệm phương trình là: (x=-fracpi 4+kpi (kin mathbbZ)).
5. Giải bài bác 5 trang 29 sgk Đại số và Giải tích 11
Giải các phương trình sau:
a) (small tan (x – 150) = fracsqrt33);
b) (small cot (3x – 1) = -sqrt3);
c) (small cos 2x . Tung x = 0);
d) (small sin 3x . Cot x = 0).
Bài giải:
a) Điều khiếu nại (x – 15^0eq 90^0+k180^0) hay (xeq 105^0+k.180^0.)
(tan (x – 15^0) = fracsqrt33Leftrightarrow tan(x-15^0)=tan30^0), cùng với điều kiện:
Ta có phương trình (tan (x – 15^0) = tan30^0)
(Leftrightarrow x – 15^0 = 30^0 + k180^0 , (k in mathbbZ).)
(Leftrightarrow x = 45^0 + k180^0 , (k in mathbbZ).) (thoả điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là: (x = 45^0 + k180^0 , (k in mathbbZ).)
b) (cot (3x – 1) = -sqrt3), với điều kiện (3x-1eq kpi (kin mathbbZ)) tốt (xeq frac1+k pi3(kin mathbbZ))
Ta bao gồm phương trình (cot (3x – 1) = cot(-fracpi 6))
(Leftrightarrow 3x-1=-frac5pi 6+k pi, kin mathbbZ)
(Leftrightarrow x=frac13-fracpi 18+k.fracpi 3,(kin mathbbZ)) (thoả điều kiện)
Vậy nghiệm phương trình là (x=frac13-fracpi 18+k.fracpi 3,(kin mathbbZ))
c) (cos2x.tanx=0 Leftrightarrow cos 2x.fracsin xcos x = 0), với điều kiện (cosxeq 0)
(Leftrightarrow xeq fracpi 2+kpi (kin mathbbZ)), ta tất cả phương trình: (cos2x . Sinx = 0)
(Leftrightarrow igg lbrackeginmatrix cos2x=0\ sin2x=0 endmatrixLeftrightarrow igg lbrackeginmatrix 2x=fracpi 2+kpi \ x=kpi endmatrix(kin mathbbZ))
(Leftrightarrow igg lbrackeginmatrix x=fracpi 4+k.fracpi 2\ x=k pi endmatrix(kin mathbbZ)) (thoả điều kiện)
Vậy nghiệm phương trình là: (x=fracpi 4+k.fracpi 2(kin mathbbZ)) hoặc (x=kpi (kin mathbbZ))
d) (sin 3x . Cot x = 0 Leftrightarrow sin 3x.fraccos xsin x = 0), với điều kiện (sinxeq 0Leftrightarrow xeq k.2pi (kin mathbbZ))
Ta bao gồm phương trình sin3x.cos = 0
(Leftrightarrow igg lbrackeginmatrix sin3x=0\ cosx=0 endmatrixLeftrightarrow igg lbrackeginmatrix 3x=k2pi\ x=fracpi 2+kpi endmatrix (kin mathbbZ))
(Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x=frack2 pi3\ \ x=fracpi 2+k pi endmatrix(k in mathbbZ))
So sánh với đk ta thấy khi (k = 3m,m in mathbbZ) thì (x = 2mpi Rightarrow sin x = 0) không thỏa điều kiện.
Vậy phương trình tất cả nghiệm là: (x=frack2 pi3) và (x=fracpi 2+k pi (k eq 3m, min mathbbZ))
6. Giải bài bác 6 trang 29 sgk Đại số với Giải tích 11
Với hầu hết giá trị như thế nào của x thì giá bán trị của các hàm số (small y = chảy ( fracpi4- x)) cùng (small y = tan2x) bằng nhau?
Bài giải:
Giá trị của những hàm số: (tanleft ( fracpi 4-x ight )) với (y=tan 2x) cân nhau khi và chỉ còn khi:
(eginarrayl,,,,, an left( fracpi 4 – x ight) = an 2x\DK:,,left{ eginarraylfracpi 4 – x e fracpi 2 + mpi \2x e fracpi 2 + mpiendarray ight. Leftrightarrow left< eginarraylx e – fracpi 4 + mpi \x e fracpi 4 + fracmpi 2endarray ight.\Leftrightarrow x e fracpi 4 + fracmpi 2,,left( m in Z ight)endarray)
Khi kia phương trình tương tự với:
(eginarrayl,,,,,,,2x = fracpi 4 – x + key performance indicator \Leftrightarrow 3x = fracpi 4 + hiệu quả chiến lược \Leftrightarrow x = fracpi 12 + frackpi 3,,,left( k in Z ight)endarray)
Kết hợp điều kiện ta có:
(eginarrayl,,,,,,fracpi 12 + frackpi 3 e fracpi 4 + fracmpi 2\Leftrightarrow frackpi 3 e fracmpi 2 + fracpi 6\Leftrightarrow k e frac3m + 12,,,left( k,m in Z ight)endarray)
Vậy phương trình có nghiệm: (x = fracpi 12 + frackpi 3,,,left( k e frac3m + 12,,,left( k,m in Z ight) ight))
7. Giải bài xích 7 trang 29 sgk Đại số với Giải tích 11
Giải những phương trình sau:
a) (sin 3x – cos 5x = 0);
b) (small rã 3x . Tung x = 1).
Bài giải:
a) (sin 3x – cos 5x = 0 Leftrightarrow cos 5x = sin 3x)
(Leftrightarrow cos 5x = cos (fracpi 2 – 3x))
(Rightarrow Bigg lbrackeginmatrix 5x= fracpi 2-3x+k2 pi \ \ 5x =- fracpi 2+3x +k2 pi endmatrix (kin mathbbZ))
(Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x=fracpi 16+frackpi 4 \ \ x=-fracpi 4 +kpi endmatrix, (kin Z))
Vậy nghiệm phương trình là: (x=fracpi 16+frackpi 4 (kin Z)) với (x=-fracpi 4 +kpi, (kin mathbbZ))
b) (tan 3x . Chảy x = 1)
Điều kiện: (left{eginmatrix cos3x eq 0\ \ cosx eq 0 endmatrixight.Leftrightarrow left{eginmatrix xeq fracpi 6+k.fracpi 3\ \ xeq fracpi 2 +k.pi endmatrixight. (kin mathbbZ))
(tan3x.tanx=1Rightarrow tan3x=frac1tanxRightarrow tan3x=cotx)
(Rightarrow tan3x=tanleft ( fracpi 2-x ight ))
(Rightarrow 3x=fracpi 2-x+k pi(kin mathbbZ))
(Rightarrow x=fracpi 8+frack pi 4, k in mathbbZ) (thoả điều kiện)
Vậy nghiệm phương trình là (x=fracpi 8+frack pi 4, k in mathbbZ).
Bài trước:
Bài tiếp theo:
Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài bác tập sgk toán lớp 11 với giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 trang 28 29 sgk Đại số cùng Giải tích 11!