Chứng minh rằng (overrightarrowAB= overrightarrowCD) khi còn chỉ khi trung điểm của nhị đoạn thẳng (AD) và (BC) trùng nhau.
Bạn đang xem: Bài 9 trang 12 sgk hình học 10
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Với quy tắc cha điểm tùy ý (A, , , B, , , C) ta luôn có:
(+ );overrightarrow AB + overrightarrow BC = overrightarrow AC ) (quy tắc ba điểm).
( + );overrightarrow AB - overrightarrow AC = overrightarrow CB ) (quy tắc trừ).
Lời giải đưa ra tiết
Ta chứng tỏ hai mệnh đề.
a) mang lại (overrightarrowAB= overrightarrowCD) thì (AD) cùng (BC) gồm trung điểm trùng nhau.
Xem thêm: Lk Xuân Này Con Về Mẹ Ở Đâu
Gọi (I) là trung điểm của (AD) ta chứng tỏ (I) cũng là trung điểm của (BC).
Theo luật lệ của ba điểm của tổng, ta có
(overrightarrowAB= overrightarrowAI + overrightarrowIB);
(overrightarrowCD= overrightarrowCI+ overrightarrowID)
Vì (overrightarrowAB = overrightarrowCD) nên (overrightarrowAI + overrightarrowIB= overrightarrowCI+ overrightarrowID)
(Rightarrow overrightarrowAI - overrightarrowID = overrightarrowCI - overrightarrowIB)
(RightarrowoverrightarrowAI + overrightarrowDI = overrightarrowCI + overrightarrowBI) (1)
Vì (I) là trung điểm của (AD) phải (overrightarrow IA + overrightarrow ID = overrightarrow 0 Leftrightarrow overrightarrowAI + overrightarrowDI = overrightarrow0) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (overrightarrowCI + overrightarrowBI = overrightarrow0 Leftrightarrow overrightarrow IC + overrightarrow IB = overrightarrow 0 ) (3)
Đẳng thức (3) chứng minh (I) là trung điểm của (BC).
b) (AD) cùng (BC) tất cả cùng trung điểm (I), ta triệu chứng minh (overrightarrowAB) = (overrightarrowCD).
(I) là trung điểm của (AD) ( Leftrightarrow overrightarrow IA + overrightarrow ID = overrightarrow 0 Rightarrow overrightarrowAI + overrightarrowDI = overrightarrow0) (RightarrowoverrightarrowAI - overrightarrowID =overrightarrow0)
(I) là trung điểm của (BC) ( Leftrightarrow overrightarrow IC + overrightarrow IB = overrightarrow 0 ) (Rightarrow overrightarrowCI + overrightarrowBI= overrightarrow0) (Rightarrow overrightarrowCI - overrightarrowIB= overrightarrow0)
Suy ra (overrightarrowAI - overrightarrowID= overrightarrowCI- overrightarrowIB)
(Rightarrow overrightarrowAI + overrightarrowIB = overrightarrowCI+ overrightarrowID) (Rightarrow overrightarrowAB= overrightarrowCD) (đpcm)
Cách khác:
Gọi trung điểm của AD là I, trung điểm BC là J.
Khi đó ta có: (overrightarrow IA + overrightarrow ID = overrightarrow 0 ,overrightarrow JB + overrightarrow JC = overrightarrow 0 )