Cho tam giác gần như (ABC) có trọng tâm (O) và (M) là một điểm tùy ý trong tam giác. điện thoại tư vấn (D,E,F) theo thứ tự là chân mặt đường vuông góc hạ trường đoản cú (M) đến (BC, AC, AB). Chứng minh rằng:

(overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF = 3 over 2overrightarrow MO )


Phương pháp giải - Xem chi tiết

*


Ý tưởng: biểu thị 3 vecto (overrightarrow MD , overrightarrow ME , overrightarrow MF ) trải qua 3 vecto (overrightarrow MA , overrightarrow MB , overrightarrow MC )


Lời giải chi tiết

+) Qua (M) kẻ những đường (A_1B_1;// m AB; m A_2C_2;// m AC; m B_2C_1;// m BC) như hình vẽ.

Ta có:

(eginarraylMB_1//AB Rightarrow widehat MB_1C_2 = widehat ABC = 60^0\MC_2//AC Rightarrow widehat MC_2B_1 = widehat ACB = 60^0endarray)

Tam giác (MB_1C_2) có (widehat MB_1C_2 = widehat MC_2B_1 = 60^0) yêu cầu là tam giác đều.

Tương tự những tam giác (MA_1C_1;MA_2B_2)đều là những tam giác đều.

+) lại sở hữu (MD; ot B_1C_2) nên (MD) cũng chính là trung con đường của tam giác (B_1DC_2)

Ta có (2overrightarrow MD = overrightarrow MB_1 + overrightarrow MC_2 )

Tương tự: (2overrightarrow ME = overrightarrow MA_1 + overrightarrow MC_1 )

(2overrightarrow MF = overrightarrow MA_2 + overrightarrow MB_2 )

(eginarrayl Rightarrow 2overrightarrow MD + 2overrightarrow ME + 2overrightarrow MF \ = left( overrightarrow MB_1 + overrightarrow MC_2 ight) \+ left( overrightarrow MC_1 + overrightarrow MA_1 ight) \+ left( overrightarrow MA_2 + overrightarrow MB_2 ight)endarray)

( Rightarrow 2left( overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF ight))

( = left( overrightarrow MA_1 + overrightarrow MA_2 ight) + left( overrightarrow MB_1 + overrightarrow MB_2 ight) + left( overrightarrow MC_1 + overrightarrow MC_2 ight))

+) phương diện khác: Tứ giác (MA_1AA_2) là hình bình hành nên (overrightarrow MA_1 + overrightarrow MA_2 = overrightarrow MA )


Tương tự: (overrightarrow MB_1 + overrightarrow MB_2 = overrightarrow MB ;quad overrightarrow MC_1 + overrightarrow MC_2 = overrightarrow MC )

( Rightarrow 2left( overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF ight) = overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC m )

Vì (O) là trung tâm của tam giác cùng (M) là 1 trong những điểm bất kể nên

(overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC = 3overrightarrow MO )

+) cuối cùng ta có: 

( Rightarrow 2left( overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF ight) = 3overrightarrow MO )

( Rightarrow overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF = frac32overrightarrow MO )