Mời các bạn cùng tìm hiểu thêm nội dung bài bác giảng Bài 1: Hệ phương trình đường tính sau đây để tò mò về dạng biểu diễn ma trận, giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương thức Gauss, định lý Cronecker - Capelli, hệ phương trình tuyến đường tính thuần nhất,...
Bạn đang xem: Hệ phương trình tuyến tính và cách giải
1. Dạng màn biểu diễn ma trận
2. Giải hệ phương trình tuyến đường tính bằng phương thức Gauss
3. Định lý Cronecker - Capelli
4. Hệ Cramer
5. Hệ phương trình đường tính thuần nhất
Ví dụ: Xét hệ 3 phương trình con đường tính 4 ẩn số sau đây:
\(\left\{ \beginarrayl 2x_1 - x_2 + x_3 - 3x_4 = 1\\ x_1 - 4x_3 + 5x_4 = - 2\\ - 2x_2 + x_4 = 0 \endarray \right.\)
Đặt\(A = \left( \beginarray*20c 2& - 1&1& - 3\\ 1&0& - 4&5\\ 0& - 2&0&1 \endarray \right),\,X = (x_1;x_2;x_3;x_4) = \left( \beginarrayl x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \endarray \right)\,\,và\,B = \left( \beginarrayl 1\\ - 2\\ 0 \endarray \right)\)
Khi đó, hệ phương trình trên có thể viết lại bên dưới dạng ma trận là: AX = B.
Trong trường phù hợp tổng quát, ta xét hệ m phương trình đường tính nẩn như sau:
\(\left\{ \beginarrayl a_11x_1 + a_12x_2 + .... + a_1nx_n = b_1\\ a_21x_1 + a_22x_2 + .... + a_2nx_n = b_2\\ ................................\\ a_m1x_1 + a_m2x_2 + .... + a_mnx_n = b_m \endarray \right.\)
Đặt\(A = (a_\rmij)_m\,x\,n,\,X = \left( \beginarrayl x_1\\ .\\ .\\ .\\ x_n \endarray \right),\,B = \left( \beginarrayl b_1\\ .\\ .\\ .\\ b_n \endarray \right)\). Lúc đó, hệ phương trình trên hoàn toàn có thể viết lại dưới dạng ma trận là AX = B.
Ma trận\(A_m x n\) hotline là ma trận hệ sổ của hệ phương trình.Ma trận\(\overline A = (A|B)\) gọi là ma trận hệ số không ngừng mở rộng của hệ phương trình.X hotline là vectơ ẩn.2. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương thức Gauss.
Một phương thức thông dụng để giải hệ phương trình con đường tính là phương pháp Gauss, chuyển ma trận hệ số không ngừng mở rộng \(\overline A \) về dạng lan can hay lan can thu gọn, nhờ các phép biến hóa sơ cấp cho trên dòng.
Xem thêm: Trò Chơi Xe Tải Cho Trẻ Em Bé, Hướng Dẫn Dành Cho Cha Mẹ Về Google Play
Ví dụ: Giải hệ phương trình con đường tính
\(\left\{ \beginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 6\\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 3\\ x_1 + x_3 = 4 \endarray \right.\,\,\,(I)\)
Giải:
Ma trận hệ số mở rộng của (I) là :
Ta gồm hệ phương trình (I) tương đương:
\(\left\{ \beginarrayl x_1 + x_3 = 4\\ x_2 + x_3 = 5 \endarray \right.\,\,\,hay\,\,\left\{ \beginarrayl x_1 = 4 - x_3\\ x_2 = 5 - x_3 \endarray \right.\)
Cho\(x_3 = \alpha \in R\), nghiệm của hệ là\(x_1 = 4 - \alpha ,x_2 = 5 - \alpha ,x_3 = \alpha \)
Như thế, hệ phương trình có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát là:
\(X = (4 - \alpha ;5 - \alpha ;\alpha );\alpha \in R\)
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính
\(\left\{ \beginarrayl x_1 - x_2 = - 1\\ 2x_1 + x_2 - x_3 = 1\\ x_2 + x_3 = 5 \endarray \right.\,\,\,(I)\)
Giải
Ma trận hệ số mở rộng của (I) là:
Ta gồm hệ phương trình tương đương\(\left\{ \beginarrayl x_1 = 1\\ x_2 = 2\\ x_3 = 3 \endarray \right.\)
Vậy hệ tất cả nghiệm nhất X = (1;2;3)
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến đường tính
\(\left\{ \beginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\\ 2x_1 + x_3 = 0\\ 4x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 3 \endarray \right.\,\,(I)\)
Giải: Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là
Ta tất cả hệ phương trình tương đương:\(\left\{ \beginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\\ - 2x_2 + 5x_3 = - 2\\ 0 = 1 \endarray \right.\)
Vậy hệ phương trình vô nghiệm
3. Định lý Cronecker - Capelli
Xét hệ phương trình tuyến tính: AX = B với\(A_m\,x\,n,\,X_n\,\,x\,1,\,B_m\,x\,1\)
Ta có:
Hệ gồm nghiệm duy nhất\(\Leftrightarrow R(A) = R(\overline A ) = n\)Hệ có vô số nghiệm\(\Leftrightarrow R(A) = R(\overline A ) = k lúc đó, hệ phương trình tất cả k ẩn chính ứng với k phần tử dẫn đầu và n - k ẩn trường đoản cú do, được chuyển sang vế phải.Hệ vô nghiệm\( \Leftrightarrow R(A)Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến đường tính
\(\left\{ \beginarrayl x_1 + x_2 - x_3 = 2\\ 2x_1 + x_3 = 1\\ x_2 + 2x_3 = - 2 \endarray \right.\,(I)\)
Ma trận hệ số mở rộng của (I) là
Ta có:\(R(A) = R(\overline A) = 3\)số ẩn
Vậy hệ tất cả nghiệm duy nhất: X = (1;0;-1)
Ví dụ: Giải hệ phuơng trình con đường tính
\(\left\{ \beginarrayl x_2 - 2x_3 = 1\\ x_1 + x_3 = - 2\\ 2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = - 1 \endarray \right.(I)\)
Giải: Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là
Ta có: \(R(A) = 2 . Vậy hệ vô nghiệm.
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến đường tính
\(\left\{ \beginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 3\\ 2x_1 + x_3 = 2\\ 3x_1 - x_2 + 2x_3 = 5 \endarray \right.\,(I)\)
Giải:Ma trận hệ số mở rộng của (I) là
Ta có:\(R\left( A \right)\rm = \rm R\left( \overline A \right)\rm = \rm 2\) (số ẩn là 3). Vậy hệ bao gồm vô số nghiệm với 2 ẩn chủ yếu ứng với 2 phần tử dẫn đầu là x1, x2. Giải x1, x2theo ẩn tự do x3 ta có hệ phương trình gồm vô số nghiệm cùng với nghiệm tổng quát là:\(X = \left( 1 - \frac\alpha 2; - 2 + \frac\alpha 2;\alpha \right)\,với\,\alpha \in R\)
4. Hệ Cramer
Hệ phương trình tuyến tính AX = B được gọi là hệ Cramer ví như A là ma trận vuông ko suy phát triển thành , nghĩa là\(\left| A \right| \ne 0\)
Khi đó, ta gồm nghiệm duy nhất:\(X = A^-1B\)
Nếu cấp của ma trận A khá lớn thì việc tìm\(A^-1\) tương thay đổi phức tạp. Rộng nữa, bao gồm khi ta chi bắt buộc tìm một vài ẩn \(x_j\) cụ vì toàn cục các ẩ\(X=(x_1; x_2;....;x_n)\). Từ bỏ đó, người ta tìm thấy công thúc tính từng ẩn \(x_j\) nhờ vào công thức \(X = A^-1B\) như sau :
\(x_j = \fracD_jD\)
Trong kia \(D = \left| A \right|\,và\,D_j\) là định thức của ma trận đã có được từ A bằng cách thay cột j vày vế buộc phải (cột B ).
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến đường tính
\(\left\{ \beginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 3\\ - 3x_1 + x_2 = - 2\\ - 2x_1 + x_3 = 1 \endarray \right.\)
Giải:
Ta có:
\(\beginarrayl D = \left| \beginarray*20c 1& - 2& - 1\\ - 3&1&0\\ - 2&0&1 \endarray \right| = - 7;\,\,\,\,D_1 = \left| \beginarray*20c - 3& - 2& - 1\\ - 2&1&0\\ 1&0&1 \endarray \right| = - 6\\ D_2 = \left| \beginarray*20c 1& - 3& - 1\\ - 3& - 2&0\\ - 2&1&1 \endarray \right| = - 4;\,\,\,D_3 = \left| \beginarray*20c 1& - 2& - 3\\ - 3&1& - 2\\ - 2&0&1 \endarray \right| = - 19 \endarray\)
Vậy nghiệm là\(X = \left( \fracD_1D;\fracD_2D;\fracD_3D \right) = \left( \frac67;\frac47;\frac197 \right)\)
5. Hệ phương trình con đường tính thuần nhất.
Hệ phương trình tuyến tính AX = 0 hotline là hệ thuần nhất. Không tính các tính chất chung của hệ AX = B, hệ thuần tốt nhất AX = 0 còn có các tính chất riêng như sau :
Hệ luôn luôn tất cả nghiệm tầm thường X = 0 (không bao gồm trường vừa lòng hệ vô nghiệm)Nếu A là ma trận vuông, không suy biến thì hệ tất cả nghiệm duy nhất \(X = A^-10 = 0\), chính là nghiệm tầm thường.Nếu hệ có vô số nghiệm thì tập nghiệm là một không khí con của không gian\(R^n\) (với n là số ẩn). Một cửa hàng của không gian nghiệm được gọi là một trong những hệ nghiệm cơ bản.Ví dụ: Giải hệ phương trình đường tính\(\left\{ \beginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 0\\ 2x_1 - x_2 = 0\\ x_2 + 2x_3 = 0 \endarray \right.\)
Giải:
Ta có:\(D = \left| \beginarray*20c 1& - 1&1\\ 2& - 1&0\\ 0&1&2 \endarray \right| = 4 \ne 0\)
Đây là hệ Cramer, buộc phải hệ tất cả nghiệm độc nhất X = (0; 0; 0)
Ví dụ: Giải hệ phương trình đường tính\(\left\{ \beginarrayl x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 0\\ - 2x_1 + x_2 = 0\\ - x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0 \endarray \right.\)
Giải:
Ta có:
Hệ gồm vô số nghiệm với nghiệm tổng thể là:\(X = ( - \alpha ; - 2\alpha ;\alpha ) = \alpha ( - 1; - 2;1),\alpha \in R\)
Một hệ nghiệm cơ bản là (-1;-2;1). Số chiều của không khí nghiệm là 1.
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính
\(\left\{ \beginarrayl x_1 - x_2 - x_4 = 0\\ x_2 - x_3 - x_4 = 0\\ 2x_1 - x_2 - x_3 - 3x_4 = 0 \endarray \right.\)
Giải:
Ta có:
Nghiệm bao quát là:
\(X = (\alpha + 2\beta ;\alpha + \beta ;\alpha ;\beta ) = \alpha (1;1;1;0) + \beta (2;1;0;1)\,với\,\,\alpha ,\beta \in R\)
Một hệ nghiệm cơ bản là (1;1;1;0).(2;1;0;1). Số chiều của không gian nghiệm là 2.